Systèmes Hamiltoniens à port implicites

Directeur de thèse : M. MASCHKE Bernhard
Domaine et contexte scientifiques :
Pour concevoir des lois de commande, on utilise très majoritairement, des modèles dynamiques explicites des procédés à commander. Mais souvent ces modèles sont obtenus par réduction de systèmes d’équations algébro-différentielles composées d’équations différentielles implicites et d’équations algébriques. C’est le cas des systèmes obtenus de la semi-discrétisation d’équations aux dérivées partielles [R.52] ou bien de systèmes physiques avec contraintes [1] [R.55] ou pour lesquels les propriétés sont décrites par des équations implicites comme l’équation de Gibbs pour les systèmes thermodynamiques [R.56] ou bien des propriétés non-locales d’élasticité. Pour les systèmes hamiltoniens dissipatifs à ports, représentant des modèles de systèmes physiques, les principales méthodes de commande passives sont aussi basées sur des modèles explicites. Le projet de thèse consiste à développer pour les systèmes hamiltoniens implicites [R.55] de nouvelles méthodes de synthèse de commande passive directement sur le système algébro-différentiel.
Mots-clefs : [5 mots max.] Automatique non-linéaire ; Systèmes algébro-différentiels ; Systèmes descripteurs ; Systèmes hamiltoniens à ports
Objectifs de la thèse :
Le projet de thèse consiste à développer pour les systèmes hamiltoniens implicites [R.55] de nouvelles méthodes de synthèse de commande passive directement sur le système algébro-différentiel. Des travaux récents [1][48][55][56] ont proposé de nouvelles formulations hamiltoniennes de systèmes physiques ouverts. Ces formulations sont basées sur une formulation implicites des systèmes hamiltoniens à ports combinant une structure d’interconnexion acausale (structures de Dirac) avec une définition implicite de l’énergie.
Le premier objectif de la thèse est de caractériser les propriétés structurelles de commandabilité, observabilité et stabilisabilité des systèmes hamiltoniens implicites ainsi définis.
Le deuxième objectif est de proposer des méthodes de synthèse de lois de commande par retour d’état, stabilisant le système et généralisant les approches par interconnexion et réduction ainsi que les approches par assignation en boucle fermée de la structure d’interconnexion et de l’énergie développées pour les systèmes hamiltoniens à port explicites.
Verrous scientifiques :
Le premier verrou est la généralisation aux systèmes non-linéaires des premiers travaux sur la formulation de type descripteur des systèmes hamiltoniens à port dans le cas où la fonction hamiltonienne est décrite par une sous-variété d’un espace des phases: caractérisation quand le système entrée-sortie est bien-posé et de ses propriétés.
Le deuxième verrou est la synthèse de commande non-linéaire stabilisante préservant la structure et la généralisation des travaux existant pour les systèmes explicites. Les techniques géométriques devront être adaptées au cas où le système de commande n’est défini que sur une sous-variété invariante de l’espace des phases.
Le troisième verrou est la généralisation aux systèmes de dimension infinie et leurs modèles issus d’une réduction, de la synthèse de commande stabilisantes.
Contributions originales attendues :
Extension des résultats sur les propriétés de commandabilité, observabilité et stabilisabilité des systèmes descripteurs linéaires géométrique exploitant la structure géométrique des systèmes hamiltoniens à port aux systèmes non-linéaires.
Extension des résultats sur les conditions d’existence de solutions et les lois de commande frontière stabilisantes pour les systèmes hamiltoniens à port frontières (associés à des systèmes d’équations de bilan) aux systèmes descripteurs de dimension infinie, associés par exemple à des propriétés d’énergie non-locales.
Programme de recherche et démarche scientifique proposée :
La première partie consistera en une étude bibliographique de différentes classes de systèmes implicites : les systèmes hamiltoniens de type descripteur [1], les systèmes hamiltoniens à port définis sur des sous-variétés de Lagrange ou de Legendre [R.48] [R.58] et issus de la réduction de systèmes à paramètres distribués [R.52].
La deuxième partie consistera dans l‘étude des propriétés de type système, comme la commandabilité et l’observabilité des systèmes hamiltoniens à port de type descripteur, linéaires et non-linéaires ainsi que leur commande passive stabilisante. On caractérisera d’abord les commandes par retour d’état qui laisse invariante la structure géométrique des systèmes hamiltoniens considérés, puis on proposera des lois de commande stabilisantes utilisant les potentiels thermodynamiques du système physique.
Dans la troisième partie, des modèles issus de la discrétisation de systèmes d’équations de bilan ou directement obtenus comme un système d’équations de bilan discrètes, seront étudiés. Les contraintes considérées seront issues aussi bien de lois d’interconnexion de sous-système (dans des modèles issus de graphes) ou bien de lois constitutives implicites (lois de diffusion de Stefan-Maxwell, relations constitutives non-locales).
Ces travaux seront illustrés sur le cas pratique de réacteurs catalytiques dont les modèles graphiques et hamiltoniens à port sont en développement dans le cadre de l’ANR INFIDHEM.

Perspectives professionnelles après le doctorat :
Les compétences acquises lui permettront de réaliser une carrière aussi bien dans l’Enseignement Supérieur que dans des organismes de recherche de type CNRS que dans des entreprises privées ayant une activité en Automatique.
Références bibliographiques sur le sujet de thèse :
[1] C Beattie, V Mehrmann, H Xu, H Zwart, Linear port-Hamiltonian descriptor systems, Mathematics of Control, Signals, and Systems 30 (4), 17 , 2018
[2] C. Yang, , J. Sun, Q. Zhang, and X. Ma , Lyapunov Stability and Strong Passivity Analysis for Nonlinear Descriptor Systems, IEEE Trans. on Circuits and Systems, vol. 60,n°4, April 2013
[3] C. A. Beattie, V. Mehrmann, P. Van Dooren, Robust port-Hamiltonian representations of passive systems, Automatica pp. 182–186, n°100, 2019
[R.48] H. Ramirez, B. Maschke and D. Sbarbaro, Partial stabilization of input-output contact systems on a Legendre submanifold , IEEE Transaction on Automatic Control, Vol. 62, n°3, pp. 1431 – 1437, March 2017
[R.52] P. Kotyczka, B. Maschke, L. Lefèvre, Weak Form of Stokes-Dirac Structures and Geometric Discretization of Port-Hamiltonian Systems, J. of Computational Physics, pp. 442-476, Vol. 361, Mai 2018
[R.55] A.J. van der Schaft and B.Maschke, Generalized Port-Hamiltonian DAE Systems, Systems and Control Letters, 121, pp. 31–37, 2018
[R.56] A.J. van der Schaft and B.Maschke, Geometry of Thermodynamic, Entropy vol. 20, n°12, n° paper 925, Dec. 2018

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